3.923 \(\int x^2 (a+b x)^n (c+d x)^2 \, dx\)

Optimal. Leaf size=157 \[ \frac{\left (6 a^2 d^2-6 a b c d+b^2 c^2\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}+\frac{a^2 (b c-a d)^2 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}-\frac{2 a (b c-2 a d) (b c-a d) (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{2 d (b c-2 a d) (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}+\frac{d^2 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

[Out]

(a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)) - (2*a*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(
2 + n)) + ((b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) + (2*d*(b*c - 2*a*d)*(a + b*x)^(
4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0872, antiderivative size = 157, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 18, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.056, Rules used = {88} \[ \frac{\left (6 a^2 d^2-6 a b c d+b^2 c^2\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}+\frac{a^2 (b c-a d)^2 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}-\frac{2 a (b c-2 a d) (b c-a d) (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{2 d (b c-2 a d) (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}+\frac{d^2 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^2*(a + b*x)^n*(c + d*x)^2,x]

[Out]

(a^2*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)) - (2*a*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(
2 + n)) + ((b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) + (2*d*(b*c - 2*a*d)*(a + b*x)^(
4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n))

Rule 88

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandI
ntegrand[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && IntegersQ[m, n] &&
(IntegerQ[p] || (GtQ[m, 0] && GeQ[n, -1]))

Rubi steps

\begin{align*} \int x^2 (a+b x)^n (c+d x)^2 \, dx &=\int \left (\frac{a^2 (-b c+a d)^2 (a+b x)^n}{b^4}+\frac{2 a (b c-2 a d) (-b c+a d) (a+b x)^{1+n}}{b^4}+\frac{\left (b^2 c^2-6 a b c d+6 a^2 d^2\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^4}+\frac{2 d (b c-2 a d) (a+b x)^{3+n}}{b^4}+\frac{d^2 (a+b x)^{4+n}}{b^4}\right ) \, dx\\ &=\frac{a^2 (b c-a d)^2 (a+b x)^{1+n}}{b^5 (1+n)}-\frac{2 a (b c-2 a d) (b c-a d) (a+b x)^{2+n}}{b^5 (2+n)}+\frac{\left (b^2 c^2-6 a b c d+6 a^2 d^2\right ) (a+b x)^{3+n}}{b^5 (3+n)}+\frac{2 d (b c-2 a d) (a+b x)^{4+n}}{b^5 (4+n)}+\frac{d^2 (a+b x)^{5+n}}{b^5 (5+n)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.10201, size = 136, normalized size = 0.87 \[ \frac{(a+b x)^{n+1} \left (\frac{(a+b x)^2 \left (6 a^2 d^2-6 a b c d+b^2 c^2\right )}{n+3}+\frac{a^2 (b c-a d)^2}{n+1}+\frac{2 d (a+b x)^3 (b c-2 a d)}{n+4}-\frac{2 a (a+b x) (b c-2 a d) (b c-a d)}{n+2}+\frac{d^2 (a+b x)^4}{n+5}\right )}{b^5} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x^2*(a + b*x)^n*(c + d*x)^2,x]

[Out]

((a + b*x)^(1 + n)*((a^2*(b*c - a*d)^2)/(1 + n) - (2*a*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x))/(2 + n) + ((b^2*c^
2 - 6*a*b*c*d + 6*a^2*d^2)*(a + b*x)^2)/(3 + n) + (2*d*(b*c - 2*a*d)*(a + b*x)^3)/(4 + n) + (d^2*(a + b*x)^4)/
(5 + n)))/b^5

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.008, size = 547, normalized size = 3.5 \begin{align*}{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{1+n} \left ({b}^{4}{d}^{2}{n}^{4}{x}^{4}+2\,{b}^{4}cd{n}^{4}{x}^{3}+10\,{b}^{4}{d}^{2}{n}^{3}{x}^{4}-4\,a{b}^{3}{d}^{2}{n}^{3}{x}^{3}+{b}^{4}{c}^{2}{n}^{4}{x}^{2}+22\,{b}^{4}cd{n}^{3}{x}^{3}+35\,{b}^{4}{d}^{2}{n}^{2}{x}^{4}-6\,a{b}^{3}cd{n}^{3}{x}^{2}-24\,a{b}^{3}{d}^{2}{n}^{2}{x}^{3}+12\,{b}^{4}{c}^{2}{n}^{3}{x}^{2}+82\,{b}^{4}cd{n}^{2}{x}^{3}+50\,{b}^{4}{d}^{2}n{x}^{4}+12\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{2}{n}^{2}{x}^{2}-2\,a{b}^{3}{c}^{2}{n}^{3}x-48\,a{b}^{3}cd{n}^{2}{x}^{2}-44\,a{b}^{3}{d}^{2}n{x}^{3}+49\,{b}^{4}{c}^{2}{n}^{2}{x}^{2}+122\,{b}^{4}cdn{x}^{3}+24\,{d}^{2}{x}^{4}{b}^{4}+12\,{a}^{2}{b}^{2}cd{n}^{2}x+36\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{2}n{x}^{2}-20\,a{b}^{3}{c}^{2}{n}^{2}x-102\,a{b}^{3}cdn{x}^{2}-24\,a{b}^{3}{d}^{2}{x}^{3}+78\,{b}^{4}{c}^{2}n{x}^{2}+60\,{b}^{4}cd{x}^{3}-24\,{a}^{3}b{d}^{2}nx+2\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}{n}^{2}+72\,{a}^{2}{b}^{2}cdnx+24\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{2}{x}^{2}-58\,a{b}^{3}{c}^{2}nx-60\,a{b}^{3}cd{x}^{2}+40\,{b}^{4}{c}^{2}{x}^{2}-12\,{a}^{3}bcdn-24\,{a}^{3}b{d}^{2}x+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}n+60\,{a}^{2}{b}^{2}cdx-40\,a{b}^{3}{c}^{2}x+24\,{a}^{4}{d}^{2}-60\,{a}^{3}bcd+40\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2} \right ) }{{b}^{5} \left ({n}^{5}+15\,{n}^{4}+85\,{n}^{3}+225\,{n}^{2}+274\,n+120 \right ) }} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^2*(b*x+a)^n*(d*x+c)^2,x)

[Out]

(b*x+a)^(1+n)*(b^4*d^2*n^4*x^4+2*b^4*c*d*n^4*x^3+10*b^4*d^2*n^3*x^4-4*a*b^3*d^2*n^3*x^3+b^4*c^2*n^4*x^2+22*b^4
*c*d*n^3*x^3+35*b^4*d^2*n^2*x^4-6*a*b^3*c*d*n^3*x^2-24*a*b^3*d^2*n^2*x^3+12*b^4*c^2*n^3*x^2+82*b^4*c*d*n^2*x^3
+50*b^4*d^2*n*x^4+12*a^2*b^2*d^2*n^2*x^2-2*a*b^3*c^2*n^3*x-48*a*b^3*c*d*n^2*x^2-44*a*b^3*d^2*n*x^3+49*b^4*c^2*
n^2*x^2+122*b^4*c*d*n*x^3+24*b^4*d^2*x^4+12*a^2*b^2*c*d*n^2*x+36*a^2*b^2*d^2*n*x^2-20*a*b^3*c^2*n^2*x-102*a*b^
3*c*d*n*x^2-24*a*b^3*d^2*x^3+78*b^4*c^2*n*x^2+60*b^4*c*d*x^3-24*a^3*b*d^2*n*x+2*a^2*b^2*c^2*n^2+72*a^2*b^2*c*d
*n*x+24*a^2*b^2*d^2*x^2-58*a*b^3*c^2*n*x-60*a*b^3*c*d*x^2+40*b^4*c^2*x^2-12*a^3*b*c*d*n-24*a^3*b*d^2*x+18*a^2*
b^2*c^2*n+60*a^2*b^2*c*d*x-40*a*b^3*c^2*x+24*a^4*d^2-60*a^3*b*c*d+40*a^2*b^2*c^2)/b^5/(n^5+15*n^4+85*n^3+225*n
^2+274*n+120)

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.13704, size = 429, normalized size = 2.73 \begin{align*} \frac{{\left ({\left (n^{2} + 3 \, n + 2\right )} b^{3} x^{3} +{\left (n^{2} + n\right )} a b^{2} x^{2} - 2 \, a^{2} b n x + 2 \, a^{3}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} c^{2}}{{\left (n^{3} + 6 \, n^{2} + 11 \, n + 6\right )} b^{3}} + \frac{2 \,{\left ({\left (n^{3} + 6 \, n^{2} + 11 \, n + 6\right )} b^{4} x^{4} +{\left (n^{3} + 3 \, n^{2} + 2 \, n\right )} a b^{3} x^{3} - 3 \,{\left (n^{2} + n\right )} a^{2} b^{2} x^{2} + 6 \, a^{3} b n x - 6 \, a^{4}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} c d}{{\left (n^{4} + 10 \, n^{3} + 35 \, n^{2} + 50 \, n + 24\right )} b^{4}} + \frac{{\left ({\left (n^{4} + 10 \, n^{3} + 35 \, n^{2} + 50 \, n + 24\right )} b^{5} x^{5} +{\left (n^{4} + 6 \, n^{3} + 11 \, n^{2} + 6 \, n\right )} a b^{4} x^{4} - 4 \,{\left (n^{3} + 3 \, n^{2} + 2 \, n\right )} a^{2} b^{3} x^{3} + 12 \,{\left (n^{2} + n\right )} a^{3} b^{2} x^{2} - 24 \, a^{4} b n x + 24 \, a^{5}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} d^{2}}{{\left (n^{5} + 15 \, n^{4} + 85 \, n^{3} + 225 \, n^{2} + 274 \, n + 120\right )} b^{5}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*(b*x+a)^n*(d*x+c)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

((n^2 + 3*n + 2)*b^3*x^3 + (n^2 + n)*a*b^2*x^2 - 2*a^2*b*n*x + 2*a^3)*(b*x + a)^n*c^2/((n^3 + 6*n^2 + 11*n + 6
)*b^3) + 2*((n^3 + 6*n^2 + 11*n + 6)*b^4*x^4 + (n^3 + 3*n^2 + 2*n)*a*b^3*x^3 - 3*(n^2 + n)*a^2*b^2*x^2 + 6*a^3
*b*n*x - 6*a^4)*(b*x + a)^n*c*d/((n^4 + 10*n^3 + 35*n^2 + 50*n + 24)*b^4) + ((n^4 + 10*n^3 + 35*n^2 + 50*n + 2
4)*b^5*x^5 + (n^4 + 6*n^3 + 11*n^2 + 6*n)*a*b^4*x^4 - 4*(n^3 + 3*n^2 + 2*n)*a^2*b^3*x^3 + 12*(n^2 + n)*a^3*b^2
*x^2 - 24*a^4*b*n*x + 24*a^5)*(b*x + a)^n*d^2/((n^5 + 15*n^4 + 85*n^3 + 225*n^2 + 274*n + 120)*b^5)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.71703, size = 1220, normalized size = 7.77 \begin{align*} \frac{{\left (2 \, a^{3} b^{2} c^{2} n^{2} + 40 \, a^{3} b^{2} c^{2} - 60 \, a^{4} b c d + 24 \, a^{5} d^{2} +{\left (b^{5} d^{2} n^{4} + 10 \, b^{5} d^{2} n^{3} + 35 \, b^{5} d^{2} n^{2} + 50 \, b^{5} d^{2} n + 24 \, b^{5} d^{2}\right )} x^{5} +{\left (60 \, b^{5} c d +{\left (2 \, b^{5} c d + a b^{4} d^{2}\right )} n^{4} + 2 \,{\left (11 \, b^{5} c d + 3 \, a b^{4} d^{2}\right )} n^{3} +{\left (82 \, b^{5} c d + 11 \, a b^{4} d^{2}\right )} n^{2} + 2 \,{\left (61 \, b^{5} c d + 3 \, a b^{4} d^{2}\right )} n\right )} x^{4} +{\left (40 \, b^{5} c^{2} +{\left (b^{5} c^{2} + 2 \, a b^{4} c d\right )} n^{4} + 4 \,{\left (3 \, b^{5} c^{2} + 4 \, a b^{4} c d - a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n^{3} +{\left (49 \, b^{5} c^{2} + 34 \, a b^{4} c d - 12 \, a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n^{2} + 2 \,{\left (39 \, b^{5} c^{2} + 10 \, a b^{4} c d - 4 \, a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n\right )} x^{3} +{\left (a b^{4} c^{2} n^{4} + 2 \,{\left (5 \, a b^{4} c^{2} - 3 \, a^{2} b^{3} c d\right )} n^{3} +{\left (29 \, a b^{4} c^{2} - 36 \, a^{2} b^{3} c d + 12 \, a^{3} b^{2} d^{2}\right )} n^{2} + 2 \,{\left (10 \, a b^{4} c^{2} - 15 \, a^{2} b^{3} c d + 6 \, a^{3} b^{2} d^{2}\right )} n\right )} x^{2} + 6 \,{\left (3 \, a^{3} b^{2} c^{2} - 2 \, a^{4} b c d\right )} n - 2 \,{\left (a^{2} b^{3} c^{2} n^{3} + 3 \,{\left (3 \, a^{2} b^{3} c^{2} - 2 \, a^{3} b^{2} c d\right )} n^{2} + 2 \,{\left (10 \, a^{2} b^{3} c^{2} - 15 \, a^{3} b^{2} c d + 6 \, a^{4} b d^{2}\right )} n\right )} x\right )}{\left (b x + a\right )}^{n}}{b^{5} n^{5} + 15 \, b^{5} n^{4} + 85 \, b^{5} n^{3} + 225 \, b^{5} n^{2} + 274 \, b^{5} n + 120 \, b^{5}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*(b*x+a)^n*(d*x+c)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

(2*a^3*b^2*c^2*n^2 + 40*a^3*b^2*c^2 - 60*a^4*b*c*d + 24*a^5*d^2 + (b^5*d^2*n^4 + 10*b^5*d^2*n^3 + 35*b^5*d^2*n
^2 + 50*b^5*d^2*n + 24*b^5*d^2)*x^5 + (60*b^5*c*d + (2*b^5*c*d + a*b^4*d^2)*n^4 + 2*(11*b^5*c*d + 3*a*b^4*d^2)
*n^3 + (82*b^5*c*d + 11*a*b^4*d^2)*n^2 + 2*(61*b^5*c*d + 3*a*b^4*d^2)*n)*x^4 + (40*b^5*c^2 + (b^5*c^2 + 2*a*b^
4*c*d)*n^4 + 4*(3*b^5*c^2 + 4*a*b^4*c*d - a^2*b^3*d^2)*n^3 + (49*b^5*c^2 + 34*a*b^4*c*d - 12*a^2*b^3*d^2)*n^2
+ 2*(39*b^5*c^2 + 10*a*b^4*c*d - 4*a^2*b^3*d^2)*n)*x^3 + (a*b^4*c^2*n^4 + 2*(5*a*b^4*c^2 - 3*a^2*b^3*c*d)*n^3
+ (29*a*b^4*c^2 - 36*a^2*b^3*c*d + 12*a^3*b^2*d^2)*n^2 + 2*(10*a*b^4*c^2 - 15*a^2*b^3*c*d + 6*a^3*b^2*d^2)*n)*
x^2 + 6*(3*a^3*b^2*c^2 - 2*a^4*b*c*d)*n - 2*(a^2*b^3*c^2*n^3 + 3*(3*a^2*b^3*c^2 - 2*a^3*b^2*c*d)*n^2 + 2*(10*a
^2*b^3*c^2 - 15*a^3*b^2*c*d + 6*a^4*b*d^2)*n)*x)*(b*x + a)^n/(b^5*n^5 + 15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3 + 225*b^5*n^2
+ 274*b^5*n + 120*b^5)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 9.60521, size = 6205, normalized size = 39.52 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**2*(b*x+a)**n*(d*x+c)**2,x)

[Out]

Piecewise((a**n*(c**2*x**3/3 + c*d*x**4/2 + d**2*x**5/5), Eq(b, 0)), (12*a**6*d**2*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5
+ 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 7*a**6*d**2/(12*a**6*b**5 + 48
*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 48*a**5*b*d**2*x*log(a/b + x)/(12*
a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 16*a**5*b*d**2*x/(12
*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 72*a**4*b**2*d**2*x
**2*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) +
48*a**3*b**3*d**2*x**3*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 +
12*a**2*b**9*x**4) - 24*a**3*b**3*d**2*x**3/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*
x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 12*a**2*b**4*d**2*x**4*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*
x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) - 18*a**2*b**4*d**2*x**4/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**
4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 4*a*b**5*c**2*x**3/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*
a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 6*a*b**5*c*d*x**4/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 7
2*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + b**6*c**2*x**4/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72
*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4), Eq(n, -5)), (-12*a**5*d**2*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5
+ 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 10*a**5*d**2/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7
*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 6*a**4*b*c*d*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*
x**3) + 5*a**4*b*c*d/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 36*a**4*b*d**2*x*log(a
/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 18*a**4*b*d**2*x/(3*a**4*b**5 + 9*a
**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 18*a**3*b**2*c*d*x*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x
+ 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 9*a**3*b**2*c*d*x/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*
b**8*x**3) - 36*a**3*b**2*d**2*x**2*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x*
*3) + 18*a**2*b**3*c*d*x**2*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 12
*a**2*b**3*d**2*x**3*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 12*a**2*b
**3*d**2*x**3/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 6*a*b**4*c*d*x**3*log(a/b + x
)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 6*a*b**4*c*d*x**3/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b
**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 3*a*b**4*d**2*x**4/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2
+ 3*a*b**8*x**3) + b**5*c**2*x**3/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3), Eq(n, -4)
), (12*a**4*d**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 18*a**4*d**2/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*
x + 2*b**7*x**2) - 12*a**3*b*c*d*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 18*a**3*b*c*d/(2*a**2
*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 24*a**3*b*d**2*x*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 2
4*a**3*b*d**2*x/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 2*a**2*b**2*c**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b*
*6*x + 2*b**7*x**2) + 3*a**2*b**2*c**2/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 24*a**2*b**2*c*d*x*log(a/b +
x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 24*a**2*b**2*c*d*x/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 1
2*a**2*b**2*d**2*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 4*a*b**3*c**2*x*log(a/b + x)/(2*
a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 4*a*b**3*c**2*x/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 12*a*b**3*c
*d*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 4*a*b**3*d**2*x**3/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x +
2*b**7*x**2) + 2*b**4*c**2*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 4*b**4*c*d*x**3/(2*a*
*2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + b**4*d**2*x**4/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2), Eq(n, -3)), (-1
2*a**4*d**2*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**4*d**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 18*a**3*b*c*d*log(a/b +
x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 18*a**3*b*c*d/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**3*b*d**2*x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b
**6*x) - 6*a**2*b**2*c**2*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 6*a**2*b**2*c**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 18*a**
2*b**2*c*d*x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 6*a**2*b**2*d**2*x**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 6*a*b**3*c**2*
x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 9*a*b**3*c*d*x**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 2*a*b**3*d**2*x**3/(3*a*b**5
+ 3*b**6*x) + 3*b**4*c**2*x**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 3*b**4*c*d*x**3/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + b**4*d**2*x**4/
(3*a*b**5 + 3*b**6*x), Eq(n, -2)), (a**4*d**2*log(a/b + x)/b**5 - 2*a**3*c*d*log(a/b + x)/b**4 - a**3*d**2*x/b
**4 + a**2*c**2*log(a/b + x)/b**3 + 2*a**2*c*d*x/b**3 + a**2*d**2*x**2/(2*b**3) - a*c**2*x/b**2 - a*c*d*x**2/b
**2 - a*d**2*x**3/(3*b**2) + c**2*x**2/(2*b) + 2*c*d*x**3/(3*b) + d**2*x**4/(4*b), Eq(n, -1)), (24*a**5*d**2*(
a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 12*a**4*b*c*d*
n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 60*a**4*b*c
*d*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 24*a**4*b*
d**2*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 2*a*
*3*b**2*c**2*n**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**
5) + 18*a**3*b**2*c**2*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n +
120*b**5) + 40*a**3*b**2*c**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5
*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*c*d*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2
+ 274*b**5*n + 120*b**5) + 60*a**3*b**2*c*d*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b
**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**2*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b*
*5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**2*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*
n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 2*a**2*b**3*c**2*n**3*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5
+ 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 18*a**2*b**3*c**2*n**2*x*(a + b*x)**
n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 40*a**2*b**3*c**2*n*x*(a
+ b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 6*a**2*b**3*c*d
*n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 36
*a**2*b**3*c*d*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n +
120*b**5) - 30*a**2*b**3*c*d*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 27
4*b**5*n + 120*b**5) - 4*a**2*b**3*d**2*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*
b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 12*a**2*b**3*d**2*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b
**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 8*a**2*b**3*d**2*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*
n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4*c**2*n**4*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 +
15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 10*a*b**4*c**2*n**3*x**2*(a + b*x)**n/
(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 29*a*b**4*c**2*n**2*x**2*(
a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 20*a*b**4*c**2
*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 2*a*b
**4*c*d*n**4*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**
5) + 16*a*b**4*c*d*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*
n + 120*b**5) + 34*a*b**4*c*d*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2
+ 274*b**5*n + 120*b**5) + 20*a*b**4*c*d*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b*
*5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4*d**2*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3
+ 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d**2*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 8
5*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 11*a*b**4*d**2*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b
**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d**2*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**
5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*c**2*n**4*x**3*(a + b*x)**n/(b
**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*b**5*c**2*n**3*x**3*(a +
b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 49*b**5*c**2*n**2*
x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 78*b**5*
c**2*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 4
0*b**5*c**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5
) + 2*b**5*c*d*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n +
120*b**5) + 22*b**5*c*d*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*
b**5*n + 120*b**5) + 82*b**5*c*d*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n*
*2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 122*b**5*c*d*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*
b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 60*b**5*c*d*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 +
225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*d**2*n**4*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*
n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 10*b**5*d**2*n**3*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4
+ 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 35*b**5*d**2*n**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*
b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 50*b**5*d**2*n*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**
5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 24*b**5*d**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**
5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 2.72998, size = 1351, normalized size = 8.61 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^2*(b*x+a)^n*(d*x+c)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

((b*x + a)^n*b^5*d^2*n^4*x^5 + 2*(b*x + a)^n*b^5*c*d*n^4*x^4 + (b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n^4*x^4 + 10*(b*x + a)^n*
b^5*d^2*n^3*x^5 + (b*x + a)^n*b^5*c^2*n^4*x^3 + 2*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d*n^4*x^3 + 22*(b*x + a)^n*b^5*c*d*n^3*x
^4 + 6*(b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n^3*x^4 + 35*(b*x + a)^n*b^5*d^2*n^2*x^5 + (b*x + a)^n*a*b^4*c^2*n^4*x^2 + 12*(b*
x + a)^n*b^5*c^2*n^3*x^3 + 16*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d*n^3*x^3 - 4*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d^2*n^3*x^3 + 82*(b*x + a)
^n*b^5*c*d*n^2*x^4 + 11*(b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n^2*x^4 + 50*(b*x + a)^n*b^5*d^2*n*x^5 + 10*(b*x + a)^n*a*b^4*c^
2*n^3*x^2 - 6*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*d*n^3*x^2 + 49*(b*x + a)^n*b^5*c^2*n^2*x^3 + 34*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d*n^2*
x^3 - 12*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d^2*n^2*x^3 + 122*(b*x + a)^n*b^5*c*d*n*x^4 + 6*(b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n*x^4 + 24*
(b*x + a)^n*b^5*d^2*x^5 - 2*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c^2*n^3*x + 29*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2*n^2*x^2 - 36*(b*x + a)^n*
a^2*b^3*c*d*n^2*x^2 + 12*(b*x + a)^n*a^3*b^2*d^2*n^2*x^2 + 78*(b*x + a)^n*b^5*c^2*n*x^3 + 20*(b*x + a)^n*a*b^4
*c*d*n*x^3 - 8*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d^2*n*x^3 + 60*(b*x + a)^n*b^5*c*d*x^4 - 18*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c^2*n^2*x +
12*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c*d*n^2*x + 20*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2*n*x^2 - 30*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*d*n*x^2 + 12*(b*
x + a)^n*a^3*b^2*d^2*n*x^2 + 40*(b*x + a)^n*b^5*c^2*x^3 + 2*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c^2*n^2 - 40*(b*x + a)^n*a^2*b
^3*c^2*n*x + 60*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c*d*n*x - 24*(b*x + a)^n*a^4*b*d^2*n*x + 18*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c^2*n - 12
*(b*x + a)^n*a^4*b*c*d*n + 40*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c^2 - 60*(b*x + a)^n*a^4*b*c*d + 24*(b*x + a)^n*a^5*d^2)/(b^
5*n^5 + 15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3 + 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)